Propiedades de los Conjugados

Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Demostración:

Tomando : z = a + bi y z' = c + di

Se obtiene:

a + bi y ' = c - di

Con lo que:

(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di

Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i

Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bі que coincida con su conjugado.

Esto equivale a que:

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2